Rayleigh con β fijo: cada modelo de tu base recibe un amortiguamiento distinto

Empuja un columpio y suéltalo. Va y viene varias veces, cada vez con menos fuerza, hasta que se detiene. Lo que le quita energía en cada vaivén es el amortiguamiento: el roce en las cadenas, el aire, tus pies arrastrándose. Las estructuras también lo tienen, y en dinámica estructural lo resumimos en un porcentaje, $\xi$ . Para concreto, solemos usar entre 2 % y 5 %.

Ese porcentaje importa mucho. Con menos amortiguamiento, la estructura responde más fuerte al sismo. Por eso, si quieres comparar muchas estructuras entre sí, todas deberían tener el mismo $\xi$ . Si no, parte de la diferencia la pusiste tú en el modelo.

En esta nota vamos a ver cómo define OpenSees el amortiguamiento de Rayleigh, por qué copiar el mismo coeficiente en todos los modelos rompe esa comparación, y cómo se corrige. Al final cuento un error de estimación que cometí y que me enseñó algo más.

Cómo funciona Rayleigh

El amortiguamiento de Rayleigh arma la matriz de amortiguamiento mezclando la de masa y la de rigidez:

\mathbf{C} = \alpha_M \mathbf{M} + \beta_K \mathbf{K}

Con esos dos coeficientes, el amortiguamiento que recibe cada modo de vibración es:

\xi_n = \frac{\alpha_M}{2\omega_n} + \frac{\beta_K\,\omega_n}{2}

Es muy común usar solo la parte de rigidez ( $\alpha_M = 0$ ). Entonces la fórmula se simplifica a:

\xi_n = \frac{\beta_K\,\omega_n}{2} = \beta_K\,\pi f_n

Lee esa fórmula con calma: el amortiguamiento crece con la frecuencia. Si dos estructuras vibran a frecuencias distintas, el mismo $\beta_K$ les da amortiguamientos distintos.

Qué pasa en un estudio con muchos modelos

Supón que estudias estructuras de distintas alturas. Las bajas son rígidas y vibran rápido; las altas son flexibles y vibran lento. Si copias el mismo rayleigh(0, 0, beta, 0) en todos los modelos, con $\beta_K \approx 0.0032$ pasa esto:

Frecuencia del primer modo	Amortiguamiento que recibe
1.5 Hz	≈ 1.5 %
2 Hz	≈ 2 %
3 Hz	≈ 3 %
4 Hz	≈ 4 %
5 Hz	≈ 5 %

Las estructuras rígidas quedan tres veces más amortiguadas que las flexibles. Si tu conclusión es “las estructuras altas se dañan más”, una parte de ese efecto puede venir de que les diste menos amortiguamiento.

Cómo corregirlo

Decide qué $\xi$ quieres y calcula $\beta_K$ para cada modelo con su propia frecuencia:

\beta_K = \frac{2\,\xi}{\omega_1}

En OpenSees:

import math
import openseespy.opensees as ops

w1 = math.sqrt(ops.eigen(1)[0])     # frecuencia angular del primer modo
xi = 0.05                           # el amortiguamiento que quieres
ops.rayleigh(0.0, 0.0, 0.0, 2 * xi / w1)   # β aplicado a la rigidez comprometida

Si te importa más de un modo, usa los dos coeficientes y fija $\xi$ en dos frecuencias. Y en análisis no lineal, prefiere aplicar $\beta$ a la rigidez comprometida o tangente: con la rigidez inicial, cuando la estructura fluye aparecen fuerzas de amortiguamiento que no existen en la realidad.

Lo que aprendí al estimar mal

En un estudio propio quise saber cuánto cambiarían mis resultados si corregía el amortiguamiento. Medí primero cuánto se movía la deriva al cambiar $\xi$ . La relación salió moderada: si el amortiguamiento sube 10 %, la deriva baja algo más de 2 %.

Con eso estimé cuánto se moverían mis curvas de fragilidad, y me quedé corto por un factor de tres. La razón: la fragilidad estaba definida con un umbral de daño (la estructura fisuró o no fisuró). En el grupo más afectado, la deriva bajó solo 8 %, pero la mediana de fragilidad subió más de 40 %. Un cambio chico en la demanda hace que muchos casos crucen el umbral a la vez.

Una demanda continua y un daño por umbral no reaccionan igual. Si cambias el modelo, vuelve a correr la base en vez de extrapolar.

Sobre el autor

Yordan Rocio Maldonado

Ingeniero estructural, especialista en sísmica y puentes. CIP 215845

Contenido educativo y referencial. Las opiniones son mías y no representan a ningún empleador. Para un proyecto real manda el criterio del ingeniero responsable y la norma vigente.

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